Autor Thema: Alternative zu QuintGen  (Gelesen 4011 mal)

erich

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Alternative zu QuintGen
« am: Donnerstag, 22. Februar 2018, 07:46 »
Hallo allen

Zitat. Malte
Zitat
Sowohl die pythagoreische als auch die QuintGen-Stimmung haben das spielpraktische Problem, daß sie den Quintenzirkel nicht schließen. Nach 12 Quinten ergibt sich ein pythagoreisches Komma von 23,46 bzw. 20,53 ct. Wollen wir das ausmerzen, bekommen wir die gleichstufige Stimmung und unsere Terzen werden furchtbar falsch. Es gibt aber eine weitere Lösung: Einfach im Quintenzirkel in pythagoreischer Stimmung noch weiter gehen als 12 Quinten und feststellen, daß 53 reine Quinten und 31 Oktaven sich nur um 3,62 ct unterscheiden (Mercators Komma). Wenn wir dieses Komma auf 53 Quinten aufteilen, bekommen wir eine gleichstufige Stimmung mit geschlossenem Quintenzirkel (C=Eisisisisisis). Dabei sind die Terzen wieder schlechter/näher an pythagoreischer Stimmung als bei QuintGen, dafür haben wir aber eine Stimmung mit nur endlich vielen Tonhöhen.

In QuintGen mit einem Frequenzverhältnis für die Quinte von 1.499788419 (wie von mir angenommen) hat die reine Terz, also E↓ bezüglich C den Quintexponenten 4 ( ν(E↓) = 4 ) und die Erhöhung um ♯ hat den Quintexponenten 7 ( ν(♯) = 7 ) . Der Zusammenhang zum Zitat ergibt sich durch ν(E♯♯♯♯♯♯♯) = 4+7·7 = 53.


Dieser Zusammenhang bleibt auch bestehen, wenn man das Quintverhältnis für die Quinte auf 1.480452021 setzt, dann verschwindet Mercators Komma.

Es bedarf also musikalischer Experimente, welches Frequenzverhältnis für die Quinte zu wählen ist. Ich befürchte nur, dass wir da an die Grenze der elektronischen Tonerzeugung bzw. unseres Unterscheidungsvermögens stoßen.

Unklar ist mir jedoch, worin das spielpraktische Problem liegen soll, wenn sich der Quintenzirkel nicht schließt.

Gruß
Erich

Malte

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Antw:Alternative zu QuintGen
« Antwort #1 am: Donnerstag, 22. Februar 2018, 09:48 »
In QuintGen mit einem Frequenzverhältnis für die Quinte von 1.499788419 (wie von mir angenommen) hat die reine Terz, also E↓ bezüglich C den Quintexponenten 4 ( ν(E↓) = 4 ) und die Erhöhung um ♯ hat den Quintexponenten 7 ( ν(♯) = 7 ) . Der Zusammenhang zum Zitat ergibt sich durch ν(E♯♯♯♯♯♯♯) = 4+7·7 = 53.
Oh, stimmt, ich hatte mich verzählt, es muß tatsächlich Eisisisisisisis (E+7♯) sein und nicht, wie von mir im anderen Thread behauptet Eisisisisisis (E+6♯).
Zitat
Dieser Zusammenhang bleibt auch bestehen, wenn man das Quintverhältnis für die Quinte auf 1.480452021 setzt, dann verschwindet Mercators Komma.
Du scheinst hier 2^(30/53) als Quinte anzunehmen. Eine sehr viel reinere Quinte bekommt man mit dem Verhältnis 2^(31/53)≈1,499941, was 701,89 ct entspricht. Dein hier angegebener Wert entspricht 679,25 ct, was viel zu klein wäre.
Zitat
Es bedarf also musikalischer Experimente, welches Frequenzverhältnis für die Quinte zu wählen ist. Ich befürchte nur, dass wir da an die Grenze der elektronischen Tonerzeugung bzw. unseres Unterscheidungsvermögens stoßen.
Ja, zwischen 701,71 ct (QuintGen), 701,89 ct (53-stufig) und 701,96 ct (rein) bestehen tatsächlich so kleine Unterschiede, daß sie in der praktischen Umsetzung wohl nicht oder kaum auffallen. Interessant ist trotzdem der nächste Punkt:
Zitat
Unklar ist mir jedoch, worin das spielpraktische Problem liegen soll, wenn sich der Quintenzirkel nicht schließt.
Der Unterschied liegt darin, ob man in sehr vielen oder in allen Tonarten spielen kann. Klar kann man eine mitteltönige/pythagoreische/QuintGen-Stimmung immer noch an beiden Seiten beliebig erweitern, aber irgendwann werden es zu viele Töne, um die noch auf irgendeinem Instrument umzusetzen (und tatsächlich so ähnlich, daß es fürs Ohr keinen Unterschied mehr macht). Eine geschlossene Stimmung dagegen hat von vornherein nur eine endliche Anzahl von Tönen und trotzdem kann man beliebig oft z. B. die Akkordfolge C–G–d–a–C wiederholen, ohne jemals aus der Stimmung zu fallen (ok, irgendwann steigt das ganze ins Unermeßliche, aber es gibt anscheinend tatsächlich Stücke, die so komponiert sind, daß sie ständig um ein syntonisches Komma fallen und später genauso oft wieder steigen; bei Interesse würd ich da den Kommilitonen nochmal nach Details fragen).

erich

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Antw:Alternative zu QuintGen
« Antwort #2 am: Donnerstag, 22. Februar 2018, 11:43 »
Hallo Malte


 
Zitat
Zitat
Dieser Zusammenhang bleibt auch bestehen, wenn man das Quintverhältnis für die Quinte auf 1.480452021 setzt, dann verschwindet Mercators Komma.

Du scheinst hier 2^(30/53) als Quinte anzunehmen. Eine sehr viel reinere Quinte bekommt man mit dem Verhältnis 2^(31/53)≈1,499941, was 701,89 ct entspricht. Dein hier angegebener Wert entspricht 679,25 ct, was viel zu klein wäre.

Stimmt! meine Fehler

Zitat
   
Zitat
Unklar ist mir jedoch, worin das spielpraktische Problem liegen soll, wenn sich der Quintenzirkel nicht schließt.

Der Unterschied liegt darin, ob man in sehr vielen oder in allen Tonarten spielen kann. Klar kann man eine mitteltönige/pythagoreische/QuintGen-Stimmung immer noch an beiden Seiten beliebig erweitern, aber irgendwann werden es zu viele Töne, um die noch auf irgendeinem Instrument umzusetzen (und tatsächlich so ähnlich, daß es fürs Ohr keinen Unterschied mehr macht). Eine geschlossene Stimmung dagegen hat von vornherein nur eine endliche Anzahl von Tönen und trotzdem kann man beliebig oft z. B. die Akkordfolge C–G–d–a–C wiederholen, ohne jemals aus der Stimmung zu fallen.

Zum Spielpraktischen gehört auch eine Anwort auf die Frage: wieviele Versetzungszeichen würde man mit der 53-stufigen Stimmung brauchen?
In QuintGen (fast reine pythagoreische Stimmung) geht man so vor:
1. Man schreibe die Scala traditionell:
    Beispiele
       D-Dur: D E F♯ G A B C♯
       C-Moll:  C D E♭ F G A♭ B♭

2a. Für Dur erniedrige man den 3. Ton um ↓ und ebenso den 6. und 7.
     Beispiel: D-Dur: D E F♯↓ G A B↓ C♯↓

2b Für Moll erhöhe man den 3. Ton um ↑ und ebenso den 6. und 7.
     Beispiel: C-Moll: C D E♭↑ F G A♭↑ B♭↑

Ausrechnen muss ich noch, wie weit man kommt, wenn man auch Versetzungen um doppelte syntonische Kommata ermöglicht.

Es bedarf jedoch vieler musikalischer Experimente, wie es klingt, wenn man z.B. nach musikalischen Phrasen Rückungen um das syntonische Komma auf oder ab vornimmt; dieses muss jedoch nicht physikalisch akustisch geschehen, sondern könnte auch rein schreibungstechnisch erfolgen.

Gruß
Erich

Malte

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Antw:Alternative zu QuintGen
« Antwort #3 am: Donnerstag, 22. Februar 2018, 13:58 »
Zum Spielpraktischen gehört auch eine Anwort auf die Frage: wieviele Versetzungszeichen würde man mit der 53-stufigen Stimmung brauchen?
Das kann ich so spontan nicht eindeutig beantworten, da es hier verschiedene mögliche Ansätze gibt:
  • Man hat normale, Dur-Moll-tonale Musik gegeben und der Interpret muß selbst wissen, welche Töne er wählt, um damit möglichst rein zu spielen.
  • Man notiert alle reinen Quinten konsequent als solche und schreibt z. B. dann auch C–Fes–G für C-Dur. Das erfordert im Zweifelsfall auch mehr als nur Doppelkreuze und -bes, aber keine anderen als Vielfache von traditionellen Halbtonvorzeichen.
  • Man geht von 12 bis ca. 19 Tönen mit einfachen Versetzungszeichen (keine Doppelkreuze/-bes) aus und verwendet für den Rest mikrotonale Vorzeichen.
Wenn es dich näher interessiert, könnte ich für alle drei Varianten Beispiele erstellen.
Zitat
Es bedarf jedoch vieler musikalischer Experimente, wie es klingt, wenn man z.B. nach musikalischen Phrasen Rückungen um das syntonische Komma auf oder ab vornimmt; dieses muss jedoch nicht physikalisch akustisch geschehen, sondern könnte auch rein schreibungstechnisch erfolgen.
Ich empfehle hier Musik von Vicentino. Der arbeitet mit einem 31-stufigen System, welches ein erweitertes ¼-Komma-Mitteltönig darstellt, und hat außer ♯ und ♭, welche jeweils für chromatische Halbtöne = 2/31 Oktave stehen, auch noch einen Punkt, der über (oder unter) eine Note gesetzt wird und eine Erhöhung um 1/31 Oktave bedeutet. Seine Tonnamen könnten damit
    C C. C♯ D♭ D♭. D D. D♯ E♭ E♭. E F♭ E♯ F F. F♯ G♭ G♭. G G. G♯ A♭ A♭. A A. A♯ H♭ H♭. H C♭ H♯
heißen. Bin mir nicht sicher, ob er z. B. „H.“ oder „C♭“ schreibt, das müßte ich nochmal nachlesen. Ursprünglich geht er eben von einer mitteltönigen Zirkelstimmung aus, arbeitet dann aber auch mit Rückungen, z. B. von A.-Dur nach D-Dur statt D.-Dur.

Edit: A.-Dur schreibt er tatsächlich dann mit reiner Dur-Terz D♭
2. Edit: Hier ein Video. Zu sehen und zu hören ist ein Nachbau von Vicentinos Archicembalo, nebenan laufen die Noten mit.
« Letzte Änderung: Donnerstag, 22. Februar 2018, 14:06 von Malte »

erich

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Antw:Alternative zu QuintGen
« Antwort #4 am: Sonntag, 25. Februar 2018, 08:09 »
Hallo Malte
Zitat
Zitat
Zum Spielpraktischen gehört auch eine Anwort auf die Frage: wieviele Versetzungszeichen würde man mit der 53-stufigen Stimmung brauchen?
Das kann ich so spontan nicht eindeutig beantworten, da es hier verschiedene mögliche Ansätze gibt:
     1. ...
     2. Man notiert alle reinen Quinten konsequent als solche und schreibt z. B. dann auch C–Fes–G für C-Dur. Das erfordert im Zweifelsfall auch mehr als nur Doppelkreuze und -bes, aber keine anderen als Vielfache von traditionellen Halbtonvorzeichen.
     3. ...

Ich notiere lieber C-E↓-G statt C-F♭-G, weil so noch die alte Diatonik zur Orientierung durchscheint. (nebenbei: könnte das Harms Anliegen gewesen sein, wenn er so entschieden dafür eintrat, dass D♯-Dur als D♯ E♯↑ F♯♯ G♯ A♯↑ B♯ C♯♯ D♯ zu notieren ist, natürlich ohne Verwendung des syntonischen Kommas?)

Ich habe eine Tafel für die Quintexponenten von -25 bis 35 aufgestellt; das sind 60 Stufen

Zu den rot notierten Tonzeichen gehören die zwölf Quintexponenten -1 bis 10; diese werden durch die Anweisung
#(ly:set-default-scale (ly:make-scale
'#(0 11198/19999 20342/19999  31540/19999
   40684/19999 49829/19999 61026/19999 70171/19999
   81369/19999 90513/19999 101711/19999 110855/19999 120000/19999)))
in LilyPond realisiert.

Um die unmittelbar benachbarten Töne darzustellen, braucht man das syntonische Komma; auf diese Weise kann man alle Dur- und Moll-Scalen fast rein darstellen, soweit sie zu den rot notierten Grundtönen gehören.

Wenn man doppeltes syntonisches Komma hinzunimmt und die Frequenzverhältnisse von Stufe zu Stufe in der nunmehr 60-teiligen Scale berechnet, kann man feststellen:
  • der kleinste Schritt ist  9.3283338542 ¢; dieser werde mit δ bezeichnet, und ↑ ist 20.52943384433199 ¢
  • es treten nur drei verschiede Stufen auf: δ,↑ und ↑+δ

Es ist 53↑+9δ = 1200

Edit (28.02.) : 53↑+12δ = 1200
   

Ich glaube nicht, dass es ein guter Weg ist, die 12δ irgendwie zu temperieren.

Für die fast reine C-Dur-Scale hat man dann
C       D       E↓      F        G        A↓        B↓        C
  9↑+2δ  8↑+2δ    5↑+δ    9↑+2δ    8↑+2δ     9↑+2δ      5↑+δ

Man kann also auch statt der Quintexponenten eine Kombination von ↑ und δ als Maß für Intervalle nehmen

Gruß
Erich
« Letzte Änderung: Mittwoch, 28. Februar 2018, 11:34 von erich »

Malte

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« Antwort #5 am: Mittwoch, 28. Februar 2018, 09:37 »
Ich habe eine Tafel für die Quintexponenten von -25 [bis 35 aufgestellt; das sind 60 Stufen
Warum ausgerechnet diese?
Zitat
Um die unmittelbar benachbarten Töne darzustellen, braucht man das syntonische Komma; auf diese Weise kann man alle Dur- und Moll-Scalen fast rein darstellen, soweit sie zu den rot notierten Grundtönen gehören.
Wie schon mal gesagt, eigentlich geht es bei reiner Stimmung mehr um Akkorde und Intervalle als um Skalen, deshalb versteh ich nicht ganz, warum du deine Überlegungen immer noch so sehr auf siebenstufige Skalen stützt. Gerade in Moll reichen sieben Stufen nie aus. Ein Maß für die Flexibilität einer Stimmung wäre für mich eher die Anzahl abgedeckter Akkorde, nicht die Anzahl abgedeckter Skalen.
Zitat
Wenn man doppeltes syntonisches Komma hinzunimmt und die Frequenzverhältnisse von Stufe zu Stufe in der nunmehr 60-teiligen Scale berechnet, kann man feststellen:
  • der kleinste Schritt ist  9.3283338542 ¢; dieser werde mit δ bezeichnet, und ↑ ist 20.52943384433199 ¢
  • es treten nur drei verschiede Stufen auf: δ,↑ und ↑+δ

Es ist 53↑+9δ = 1200
Jo. Und nun?
Zitat
Ich glaube nicht, dass es ein guter Weg ist, die 9δ irgendwie zu temperieren.
Warum nicht und falls doch, was meinst du mit temperieren genau? Und wofür soll es kein guter Weg sein?

erich

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« Antwort #6 am: Mittwoch, 28. Februar 2018, 12:36 »
Hallo Malte

Zitat
Zitat
Um die unmittelbar benachbarten Töne darzustellen, braucht man das syntonische Komma; auf diese Weise kann man alle Dur- und Moll-Scalen fast rein darstellen, soweit sie zu den rot notierten Grundtönen gehören.
Wie schon mal gesagt, eigentlich geht es bei reiner Stimmung mehr um Akkorde und Intervalle als um Skalen, deshalb versteh ich nicht ganz, warum du deine Überlegungen immer noch so sehr auf siebenstufige Skalen stützt. Gerade in Moll reichen sieben Stufen nie aus. Ein Maß für die Flexibilität einer Stimmung wäre für mich eher die Anzahl abgedeckter Akkorde, nicht die Anzahl abgedeckter Skalen.

Ich benutze die traditionelle 7-tönige Scala {C D E F G A B} nur um die Tonzeichen zu generieren. Für die Darstellung verwende ich eine 12-stufige Scala mit der Tonzeichen {C C♯ D D♯ E F F♯ G G♯ A A♯ B C}

Für diese Zeichen verwende ich eine fast reine pythagoreische Stimmung

#(ly:set-default-scale (ly:make-scale
'#(0 11198/19999 20342/19999  31540/19999
   40684/19999 49829/19999 61026/19999 70171/19999
   81369/19999 90513/19999 101711/19999 110855/19999 120000/19999)))

Unter Verwendung des syntonischen Kommas (2053/19999) kann dann beispielsweise eine fast reine C-Dur-Scala
 {C D E↓ F G A↓ B↓ C} formuliert werden; natürlich kann in der gleichen Weise von jeder pythagoreischen Scala zu einer reinen übergegangen werden.

Beispielsweise sind dann C-E↓-G, F-A↓-C und G-B↓-D fast reine Akkorde.

Zitat
Zitat
Wenn man doppeltes syntonisches Komma hinzunimmt und die Frequenzverhältnisse von Stufe zu Stufe in der nunmehr 60-teiligen Scale berechnet, kann man feststellen:

der kleinste Schritt ist  9.3283338542 ¢; dieser werde mit δ bezeichnet, und ↑ ist 20.52943384433199 ¢
        es treten nur drei verschiede Stufen auf: δ,↑ und ↑+δ
Jo. Und nun?

Man kann in abstrakter Weise eine fast reine Durscala als eine Menge von Quintexponenten {n, n+1, n+2, n+8, n+9, n+10, n+11} schreiben; wenn man diese nach Tonhöhen ordnet, erhält dann die Folge n+9, n+11, n+1, n+8, n+10, n, n+2;
setzt man n=0, erhält man die Scala D♯-E♯-G-G#-A#-C-D bzw. E♭↑-F↑-G-A♭↑-B♭↑-C-D

Man kann aber auch fast reines Moll schreiben, beispielsweise C-D-E♭↑-F-G-A♭↑-B♭↑-C

Man kann aber auch in abstrakter Weise eine fast reine Dur-Scala als

(0,0)-(9,2)-(17,4)-(22,5)-(31,7)-(39,9)-(48,11)-(53,12) schreiben; die erste Komponente sind Vielfache von ↑ und die zweite von δ. Hier kann man unmittelbar das Ansteigen der Tonhöhe erkennen.

Will man statt mit C=(0,0) mit D=(9,2) beginnen, so addiere man überall (9,2) und erhalte: (9,2)-(18,4)-(26,6)-(31,7)-(40,9)-(48,11)-(57,13)-(62,14) bzw: D-E-F♭↓-G-A-B↓-C♯↓-D

Gruß
Erich

Malte

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« Antwort #7 am: Mittwoch, 28. Februar 2018, 13:03 »
#(ly:set-default-scale (ly:make-scale
'#(0 11198/19999 20342/19999  31540/19999
   40684/19999 49829/19999 61026/19999 70171/19999
   81369/19999 90513/19999 101711/19999 110855/19999 120000/19999)))
Mir fällt gerade auf, daß deine Oktaven nicht rein sind. Könnte mir vorstellen, daß LilyPond Probleme damit hat …

Zitat
Zitat
Jo. Und nun?

Man kann in abstrakter Weise eine fast reine Durscala als eine Menge von Quintexponenten {n, n+1, n+2, n+8, n+9, n+10, n+11} schreiben; wenn man diese nach Tonhöhen ordnet, erhält dann die Folge n+9, n+11, n+1, n+8, n+10, n, n+2;
setzt man n=0, erhält man die Scala D♯-E♯-G-G#-A#-C-D bzw. E♭↑-F↑-G-A♭↑-B♭↑-C-D
[…]
Diese und die darauf folgenden Überlegungen sind mir schon bewußt, mir ist bloß nicht klar, was man davon hat bzw. was du damit erreichen möchtest.